Найти д) синус угла между прямой ВА1 и плоскостью ВСС1
Решение: Искомый угол - это угол А1ВН. Треугольник А1ВН-прямоугольный (угол Н =90). Тогда синус угла А1ВН равен отношению А1Н к А1В. А1В равен 2. А1Н находим в треугольнике А1В1С1 как высоту. И будет равен корню из 3/2. Значит синус А1ВН равен отношению корня из 3/2 к 2, т.е. корень из 6 деленная на 4.
Расстоянием от точки В до прямой АС1 является ВН. ВС1=корень из 2, АС1 тоже корень из2, АВ =1. Значит, треугольник равнобедренный. Найдем высоту, опущенную на АВ. Она будет равна корень из 7 деленная на 2. Тогда площадь равна корень из 7 деленная на 4. Далее, с другой стороны площадь треугольника АВС1 равна половине АС1 на ВН. Откуда находим ВН= корень из 7 деленная на 4.
Решим координатно-векторным способом. Найдем координаты точек А, В1, В, С1. А(0;0;0), С(0;1;1), В(корень из 3/2; 1/2; 0), (смотрите переносной рисунок), В1(корень из 3/2;1/2;1). Тогда вектор АВ1 имеет координаты(корень из 3/2; 1/2;1), вектор ВС1(-корень из3/2;1/2;1).Их скалярное произведение будет равно 1/2. Косинус угла между векторами АВ1 и ВС1 равен скалярному произведению этих векторов деленная на произведение их длин. Длины этих векторов равны (так как грани равны ) и равны корню из 2. Значит, Косинус угла между векторами АВ1 и ВС1 равен 0,25.
Решение Угол между плоскостями АВС и АВ1С1 равно углу между плоскостями А1В1С1 и АВ1С1. Искомый угол А1МА. АА1=1, А1М= корень из 3 деленная на 2. Тангенс угла АМА1= АА1/А1М=2 деленная на корень из 3.
.
Спокойной ночи 
